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笛卡尔是17世纪着名的哲学家、数学家和自然科学家,他在力学、天文学、光学、生物学、生理学和心理学等许多科学领域都作出极大的贡献。在世界数学史上,他更是解析几何学的奠基者。

1.极限的概念

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笛卡尔 解析几何学的奠基者

时间:2017-10-12 14:29:42编辑:梓岚

笛卡尔是17世纪着名的哲学家、数学家和自然科学家,他在力学、天文学、光学、生物学、生理学和心理学等许多科学领域都作出极大的贡献。在世界数学史上,他更是解析几何学的奠基者。

在解析几何学尚未涎生的2000多年里,数学史上关于立法倍积、三等分角、化圆为方这三个几何问题一直困扰着世世代代的数学家,不少人为此呕心沥血,穷毕生精力也找不到答案。

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笛卡尔在认真总结了前人的大量经验教训后,认为这三大几何难题无论用尺还是用规,都不是好的解决办法,必须从根本入手,另找
一条道路。在偶然的一
个机会,笛卡尔从蜘蛛织网纵横交错的直线和四周的圆线交叉中找到灵感,想到了“形”和“数”的问题。

经过研究,他发现如果在平面上画出两个平行的直线,假定这两条线成直角,那么就出现四个90°的直角,在这四个角的任一个点上设个位置,就可以建立起点的坐标系。这个简单的基本概念在
现代人看来似乎一目了然,但在当时,却是数学史上最伟大的发现之一。

简单地说,这个发现建立了平面上的—为坐标与数
之间的和一一对关系,步构成了平面上点与曲线之间的一一对应关系,从而把数学的两大形态,即“形”与“数”结合了起来,不仅如此,笛卡尔还用代数方程描述几何图形,用几何图形表示代数方程的计算结果。于是,数学史上从此诞生了用代数方法解决几何问题的一们崭新学科——解析几何。

伺候,笛卡尔出版了专门论述解析几何原理的数学论着——《几何学》,书中他详细论述了坐标的建立,曲线与直线的关系,并强调人们必须运用数学的方法去透视事物的本质。

在解析几何学尚未涎生的2000多年里,数学史上关于立法倍积、三等分角、化圆为方这三个几何问题一直困扰着世世代代的数学家,不少人为此呕心沥血,穷毕生精力也找不到答案。

2.平面解析几何与一元函数微积分

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2.1 平面解析几何

解析几何学(analytic
geometry)是借助坐标系,用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何分支,亦叫做坐标几何.解析几何的实质在于变换——求解——反演的特性,即首先把一个几何问题变为一个相应的代数问题,然后求解这个代数问题,最后反演代数解而得到几何解.因此,当代数学方法和代数学符号得到充分发展以后,解析几何才能具有高度实用的形式,这一阶段是17世纪完成的.但解析几何的一些基本思想,如用坐标确定点的位置,因变量对自变量的依赖关系等,却可以上溯至更早的年代.

笛卡儿创立解析几何的思维构想,在于他采取了不同于欧几里得传统的全新思路.他从解决几何作图问题出发,运用算术术语,巧妙地引入了变量思想和坐标观念,并用代数方程表示曲线,然后再通过对方程的讨论来给出曲线的性质.其要旨是把几何学的问题归结为代数形式的问题,用代数学的方法进行计算、证明,从而达到最终解决几何问题的目的,即几何代数化的方法.他的基本思想是借助坐标法,把反映同一运动规律的空间图形(点、线、面)同数量关系(坐标和它们所满足的方程)统一起来,从而把几何问题归结为代数问题来处理,运用这种坐标法,可以研究比直线和圆复杂得多的曲线,而且使曲线第一次被看成动点的轨迹.从此,由曲线或曲面求它的方程,以及由方程的讨论研究它所表示的曲线或曲面的性质,就成了解析几何学的两大基本问题.为纪念笛卡尔为数学发展所作的贡献,我们也把直角坐标系称为笛卡尔坐标系,把直角坐标系所表示的平面称为笛卡尔平面.

在解析几何中,首先是建立坐标系.取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线,叫做平面上的一个直角坐标系xoy.利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系.除了直角坐标系外,还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等.在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标.

坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系,这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了.用这种方法研究几何学,通常就叫做解析法.这种解析法不但对于解析几何是重要的,就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的.

解析几何的创立,引入了一系列新的数学概念,特别是将变量引入数学,使数学进入了一个新的发展时期,这就是变量数学的时期.解析几何在数学发展中起了推动作用.
恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了

具体地说,平面解析几何的基本思想有两个要点:第一,在平面建立坐标系,一点的坐标与一组有序的实数对相对应;第二,在平面上建立了坐标系后,平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了.从这里可以看到,运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决,而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.

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平面几何

笛卡尔在认真总结了前人的大量经验教训后,认为这三大几何难题无论用尺还是用规,都不是好的解决办法,必须从根本入手,另找
一条道路。在偶然的一
个机会,笛卡尔从蜘蛛织网纵横交错的直线和四周的圆线交叉中找到灵感,想到了“形”和“数”的问题。

2.2 导数以及求导法则

经过研究,他发现如果在平面上画出两个平行的直线,假定这两条线成直角,那么就出现四个90°的直角,在这四个角的任一个点上设个位置,就可以建立起点的坐标系。这个简单的基本概念在
现代人看来似乎一目了然,但在当时,却是数学史上最伟大的发现之一。

2.3 微分中值定理与导数的应用